\[
\iint_{x^2+y^2\geqslant 1}\frac{\sin\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}dxdy.
\]

Hint

令 $f(x,y)=\frac{\sin\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2}$, 记 $A=\{(x,y)\mid x^2+y^2\geqslant 1\}$, 回忆广义二重积分的定义

\[
\int_A f=\int_A f^{+}-\int_A f^{-}.
\]

这里 $f^+=\max\{f,0\}$, $f^-=\max\{-f,0\}$. 因此 $f(x,y)$ 在 $A$ 上可积当且仅当 $f^{+}$ 和 $f^{-}$ 在 $A$ 上都可积. 从而等价于 $|f|$ 在 $A$ 上可积. ($|f|=f^{+}+f^{-}$)

令 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, 则二重积分 $\int_A f^{+}$ 可写为

\[
\begin{split}
\int_A f^{+}&=\lim_{k\rightarrow+\infty}\int_{A\cap B_k}f^{+}\\
&=\lim_{k\rightarrow+\infty}\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{k}\frac{\max\{\sin r,0\}}{r^2}\cdot rdrd\theta\\
&=\lim_{k\rightarrow+\infty}2\pi\int_{1}^{k}\frac{\max\{\sin r,0\}}{r}dr.
\end{split}
\]

我们知道这是发散的, 具体参见 问题1387